Евгений Александрович Евстигнеев родом из Нижнего Новгорода. Ни он, ни его родители не мечтали об актерской карьере. Задуматься об актерской деятельности ему предложил руководитель Горьковского театрального училища. Это был Виталий Лебский. Он приметил Евгения Александровича во время концертов, которые проходили в одном из кинотеатров.

Евгений Александрович после работы, а работал он в это время слесарем,  играл в этом кинотеатре на ударнике в оркестре. Его игра отличалась виртуозностью и самозабвенностью, что приводило публику в восторг, поэтому на него обращали внимание. Предложение Виталия Лебского не вызвало у будущего народного артиста особого энтузиазма, но он не отказался от встречи с ним.

Сдав вступительные экзамены Евгений Евстигнеев, начинает учиться в театральном училище, после окончания которого получает направление во Владимир в областной театр драмы им. А. Луначарского. Так началась актерская карьера Евгения Евстигнеева. Нижний Новгород хранит память об Евгении Александровиче: на пешеходной Большой Покровской улице актеру установлен памятник, в городском музее организована экспозиция, посвященная великому актеру, его именем названо театральное училище.